Lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z

Hiện nay, có nhiều bạn học sinh không năm chắc các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Chính vì vậy, trong bài viết dưới đây chung tôi sẽ chia sẻ tới các bạn công thức tính tổ hợp, chỉnh hợp, hoắn vị và các dang bài tập để các bạn tham khảo nhé

Tham khảo thêm:

• Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp và bài tập có lời giải
• Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và bài tâp có lời giải từ A- Z
• Phân tích đa thức thành nhân tử chung và bài tập có lời giải từ A- Z

Công thức hoán vị

Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự của n hần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử.

Công thức hoán vị: P_n = n(n – 1)…2.1 = n!

Hoán vị (không lặp)

Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!

Hoán vị lặp

Cho k phần tử khác nhau a1; a2;… ak. Mỗi cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1; n2 phần tử a2;…; nk phần tử ak ( n1 + n2 +….. nk = n ) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1;n2;…;nk) của k phần tử

Số các hoán vị lặp cấp n kiểu (n1;n2;…;nk) của k phần tử là:

Công thức chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu: A_n^k là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

Công thức:

Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: P_n = A_nⁿ

Công thức tổ hợp

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Kí hiệu C_n^k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).

Công thức:

Tính chất:

Cá dạng bài tập thường gặp ở hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

Bài tập 1: Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

a) Số có 7 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Lời giải

a) Số các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 7! = 5040

b) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là:

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

Chữ số hàng chục nghìn có 1 cách chọn (là chữ số 1)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Vậy có 1.6! = 720 số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn.

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Số các số có 7 chữ số khác nhau là 7!

Ta lập số có 7 chữ số khác nhau có chữ số 2 ở hàng đơn vị

Chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn (là chữ số 2)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Số các số có 7 chữ số và chữ số 2 ở hàng đơn vị là: 1.6!

Vậy có 7! – 6! = 4320 số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị.

Bài tập 2: Có 7 học sinh nữ và 3 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để:

a) Sắp xếp tùy ý.

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau và các bạn nữ ngồi cạnh nhau.

c) 3 học sinh nam ngồi kề nhau.

d) Không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

a) Sắp xếp 10 bạn tùy ý là hoán vị của 10: có 10! cách xếp.

b) Xếp các 7 bạn nữ ngồi cạnh nhau và 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép tất cả 7 bạn nữ vào 1 “bó”, 3 bạn nam vào 1 “bó”

Rồi mang sắp xếp 2 “bó” ta được 2! cách xếp.

Trong 7 bạn nữ: ta có 7! cách xếp

Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp

Vậy có 2! . 7! . 3! = 60480 cách xếp.

c) Xếp 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 3 bạn nam vào 1 “bó”

Rồi mang sắp xếp 7 bạn nữ và 1 “bó” ta được 8! cách xếp

Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp

Vậy có 8! . 3! = 241920 cách xếp.

d) Để xếp không có bạn nam nào ngồi cạnh nhau, ta sắp xếp 7 bạn nữ vào bàn dài trước: ta được 7! cách xếp

Khi đó tạo ra 8 khoảng trống (là 6 khoảng trống giữa 2 bạn nữ và 2 khoảng trống ngoài cùng)

Ta xếp 3 bạn nam vào 3 khoảng trống bất kì (mỗi bạn ở 1 khoảng trống): ta được : A₈³

Bài tập 3: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) A và F ngồi ở hai đầu ghế.

b) A và F ngồi cạnh nhau.

c) A và F không ngồi cạnh nhau.

Lời giải

a) Xếp A và F ở hai đầu ghế: có 2! cách xếp A và F

Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp

Vậy có 2! . 4! = 48 cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.

b) Xếp A và F ngồi cạnh nhau ta ghép A và F thành 1 “bó”: có 2 ! cách sắp xếp vị trí bên trong “bó”

Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 “bó” trên ghế dài: ta được 5! cách xếp

Vậy có 2! . 5! = 240 cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

c) Số cách xếp 6 người bất kì là 6! cách

Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách (câu c)

Vậy có 6! – 240 = 480 cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Bài 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.

Giải;

a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.

Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.

TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.

Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.

TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.

Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.

Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.

Bài 5: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.

Giải:

a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.

Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.

Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.

Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.

Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.

Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.

Bài 6: Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.

a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?

b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?

Giải:

a) Theo quy tắc cộng có: 23 +17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.

b) Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp

Hành động 1: chọn 1 học sinh nữ trong số 23 học sinh nữ nên có 23 cách chọn

Hành động 2: chọn 1 học sinh nam có 17 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 23.17=391 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.

Mong rằng những nội dung trên đây sẽ giúp bạn trả lời được những thắc mắc câu hỏi của mình. Hơn hết đó là có thể giải được những bài toán của mình