Phân tích đa thức thành nhân tử chung và bài tập có lời giải từ A- Z

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức cơ bản làm cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức. Trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Tham khảo thêm:

• Phương pháp phân tích đa thức dùng hằng đẳng thức và bài tập chuẩn 100%
• Chia đa thức với đơn thức là gì? Quy tắc chia đa thức với đơn thức và bài tập có lời giải chính xác 100%
• Chia đơn thức với đơn thức là gì? Quy tắc chia đơn thức với đơn thức và bài tập có lời giải chính xác 100%

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp :

• Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.
• Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1)

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý với tính chất ) A = − ( − A )

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ta có : 4x² – 6x = 2x.2x – 3.2x = 2x( 2x – 3 ).

Các dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử chung

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Sử dụng cách đặt nhân tử chung

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, Ta có: 9x⁴y³ + 3x²y⁴ = 3x²y³.3x² + 3x²y³y = 3x²y³(3x² + 1)

b, Ta có 😡³ + 12x = x.x² + x.12 = x(x² + 12)

c, Ta có mx + my + m = m(x + y + 1)

d, Ta có y⁵ – y⁴ = y⁴.y – y⁴.1 = y⁴(y – 1)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, Ta có 4x³y² – 8x²y³ = 4x²y².x – 4x²y².2y = 4x²y²(x – 2y)

b, Ta có (x – 1)³ + 2(x – 1)² = (x – 1)²(x – 1) + 2(x – 1)² = (x – 1)²(x – 1 + 2 = (x – 1)²(x + 1)

c, Ta có (x – 2)² – (2 – x)³ = (x – 2)² + (x – 2)³ = (x – 2)²(1 + x – 2) = (x – 2)²(x – 1)

d, Ta có 3x(x – 3y) + 9y(3y – x) = 3x(x – 3y) – 9y(x – 3y) = (x – 3y)(3x – 9y) = (x – 3y).3(x – 3y) = 3(x – 3y)²

e, Ta có 5x(x – y) – (y – x) = 5x(x – y) + (x – y) = (x – y)(5x + 1)

Dạng 2: Tìm x

Phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về dạng A. B = 0 ⇒ A =0; B= 0

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, Ta có: 10x(x – y) – 8y(y – x)

=10x(x – y) – 8y[-(x – y)]

= 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y)(5x + 4y)

b, Ta có 3a²(x + 1) – 4bx – 4b = 3a²(x + 1) – (4bx + 4b)

= 3a²(x + 1) – 4b(x + 1) = (x + 1)(3a² – 4b)

c, Ta có ab(x – 5) – a²(5 – x) = ab(x – 5) + a²(x – 5)

= (x – 5)(ab + a²) = a(x – 5)(a + b)

d, Ta có 30(4 – 2x)² + 3x – 6 = 30(2x – 4)² + 3(x – 2)

= 30.2²(x – 2) + 3(x – 2)

= 120(x – 2)² + 3(x – 2)

= 3(x – 2)(40(x – 2) + 1) = 3(x – 2)(40x – 79)

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, Ta có 7x²y² – 21xy²z + 7xyz + 14xy

= 7xy.xy – 7xy.3yz + 7xy.z + 7xy.2 = 7xy(xy – 3yz + z + 2)

b, Ta có 12x³y – 6xy + 3xy²

= 3xy.4x² – 3xy.2 + 3xy.y = 3xy(4x² – 2 + y)

c, Ta có (a – b)(a + 2b) – (b – a)(2a – b) – (a – b)(a + 3b)

= (a – b)(a + 2b) + (a – b)(2a – b) – (a – b)(a + 3b)

= (a – b)(a + 2b + 2a – b – (a + 3b))

= (a – b)(3a + b – a – 3b) = (a – b)(2a – 2b)

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho để có thể sử dụng được điều kiện của giả thiết. Từ đó tính giá trị của biểu thức.

Chú ý: Để tính giá trị biểu thức tại x =x₀ ta thay x=x₀ vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999.

a, Ta có: x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) – y[-(x – 1)]

= x(x – 1) + y(x – 1)

= (x – 1)(x + y)

Tại x = 2001, y = 1999 ta được:

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000 . 4000 = 8000000

b, Tính giá trị của biểu thức A = x² – y² + 2y – 1 với x=3 và y=1.

Ta có A = x² – y² + 2y – 1 = x² – ( y² – 2y + 1 )

= x² – ( y – 1 )² = ( x – y + 1 )( x + y – 1 ) (hằng đẳng thức a² – b² = ( a – b )( a + b ) ).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 – 1 + 1 )( 3 + 1 – 1 ) = 3.3 = 9.

c, Tính giá trị biểu thức P = x³ – 3x² + 3x với x = 101

Ta có P = x³ – 3x² + 3x – 1 + 1 = (x – 1)³ + 1

Thay x = 101 vào P ta được

P = (101 – 1)³ + 1 = 100³ + 1

Mong rằng những nội dung trên đây sẽ giúp bạn trả lời được những thắc mắc câu hỏi của mình. Hơn hết đó là có thể giải được những bài toán của mình