Cách tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bài tập có lời giải từ A – Z

Bạn có bài tập tìm ước chung lớn nhất nhưng lại không biết cách tìm ước chung lớn nhất như thế nào? Sau đây, THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ chia sẻ định nghĩa ước chung lớn nhất là gì, tính chất ước chung lớn nhất và cách tìm ước chung lớn nhất kèm theo các dạng bài tập có lời giải để các bạn cùng tham khảo nhé

Nội Dung

Ước chung lớn nhất là gì?

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu:

Ước chung lớn nhất của a₀, a₁, a₂,… a_n được ký hiệu là ƯCLN(a₀, a₁, a₂,… a_n) hoặc (a₀, a₁, a₂,… a_n).

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của 27 và 45?

Ta có:

Các ước của 27 là {1,3,9,27}

Các ước của 45 là {1,3,5,9,15,45}

Những số nằm trong cả hai danh sách được gọi là những ước chung của 27 và 45:{1,3,9}

Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết UCLN (27,45) = 9

Tính chất của ước chung lớn nhất

Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các só đó.
ƯCLN(a, 0) =|a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác 0 bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là |a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.
Nếu a là ước của tích b.c và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.
Nếu m là số nguyên dương thì ƯCLN(m.a₀, m.a₁, m.a₂,…m.a_n) = m.ƯCLN(a₀, a₁, a₂,… a_n).
Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN(a + m.b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.
ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu các số a₁, a₂,…,a_n là các số nguyên tố cùng nhau, thì
ƯCLN(a₁.a₂….a_n, b) = ƯCLN(a₁, b)·ƯCLN (a₂, b)·…ƯCLN (a_n, b).
ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).
ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).
Trong Hệ tọa độ Descartes, ƯCLN(a, b) biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (a, b), trừ chính điểm (0, 0).

Tham khảo thêm:

Cách tìm ước chung lớn nhất

Cách 1: Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Phương pháp: Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta tìm tập hợp các ước của từng số đó. Sau đó chọn ước chung lớn nhất.

Ví dụ: Tìm Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên 16 và 30.

Đầu tiên ta tìm tập hợp các ước của 16 và 30.

Ư(15) = { 1, 2, 4 , 8, 16 }

Ư(30) = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }

Vậy ƯCLN (16,30) = 2

Ví dụ 2:

a) Tìm ƯCLN(199, 1);

b) Tìm ƯCLN(6, 18).

Lời giải

a) ƯCLN(199, 1) = 1

b) Vì 18 ⋮ 6 nên ƯCLN(6, 18) = 6.

Cách 2: Tìm UCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Phương pháp: Muốn tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Lưu ý:

a) Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.
b) Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước cảu số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN(45, 150)

Giải

Bước 1: Phân tích 45 và 150 ra thừa số nguyên tố.

45 = 3² . 5
150 = 2 . 3 . 5²

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung, đó là: 3 và 5.

Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 5 là 1.

Vậy: ƯCLN(45, 150) = 3 . 5 = 15

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN(24, 25)

Lời giải

Phân tích 24 và 25 ra thừa số nguyên tố:

24 = 2³ . 3
25 = 5²

Vậy 24 và 25 không có thừa số nguyên tố chung.

Do đó, ƯCLN(24, 25) = 1

Cách 3: Tìm ƯCLN dựa vào bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Phương pháp: Ước chung lớn nhất của a và b có thể tính bằng cách lấy tích của a và b chia cho bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b. (điều kiện a, b khác 0)

Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 30)

B(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60,…}

B(30) = {0, 30, 60,…}

Ta có: BCNN(12,30) = 60

Vậy ƯCLN(12,30) = 12.30:60 = 6

Bài tập về ước chung lớn nhất có lời giải

Dạng 1: Tìm Ước chung lớn nhất của các số cho trước

Phương pháp: Thực hiện quy tắc ba bước đề tìm UCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ 1: Tìm UCLN của:

a) 16, 80, 176

b) 18, 30, 77.

Giải:

a) 16 = 2⁴

80 = 5.2⁴

176 = 11.2⁴

Thừa số chung là 2⁴ = 16 Đây là UCLN của 3 số đã cho.

b) 18 = 2.3²

30 = 2.3.5

77 = 11.7

Thừa số chung là 1 –> Đây cũng là UCLN cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm UCLN rồi tìm các ước chung của:16 và 24

Giải:

a) 16 = 2⁴

24 = 3.2³

–> UCLN(16,24) = 23 = 8.

Các ước chung của 16 và 24 chính là các ước của 8. Đó là: 1; 2; 4; 8.

Dạng 2: Bài toán đưa về việc tìm UCLN của hai hay nhiều số

Phương pháp:Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm UCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 chia hết cho a và 700 chia hết cho a.

Giải:

Theo đề bài a phải là UCLN(420,700) mà UCLN(420, 700) = 140. Vậy a = 140.

Dạng 3: Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Tìm UCLN của hai hay nhiều số cho trước;
Tìm các ước của UCLN này;
Chọn trong các số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ: Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Hướng dẫn giải:

UCLN(144, 192) = 48.

Ước của 48 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 48}

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Vậy các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192 là 24 và 48.

Ví dụ 2: Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua 28 bút, Lan mua 36 bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2.

a) Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tìm quan hệ giữa số a với mỗi số 28, 36, 2.

b) Tìm số a nói trên.

c) Hỏi Mai mua bao nhiêu hộp bút chì màu ? Lan mua bao nhiêu hộp bút chì màu ?

Trả lời

a) a là ước của 28, a là ước của 36, a > 2.

b) a ∈ ƯC(28 , 36) và a > 2. Từ đó tìm được a = 4.0

c) Mai mua 7 hộp bút, Lan mua 9 hộp bút.

Hy vọng đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể nhớ được định nghĩa, tính chất và cách tìm ước chung lớn nhất để áp dụng vào làm bài tập nhé