Công thức tính đường trung bình của hình thang và bài tập có lời giải

Tiếp tục ở chuyên mục Toán Học hôm nay, THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ chia sẻ định nghĩa đường trung bình của hình thang là gì? Định lý, tính chất và công thức tính đường trung bình của hình thang kèm theo bài tập minh họa có lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo nhé

Đường trung bình của hình thang là gì?

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lý và tính chất đường trung bình của hình thang

  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
  • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang và có độ dài bằng một nửa tổng độ dài hai đáy.

Công thức tính đường trung bình của hình thang

Phát biểu bằng lời: Đường trung bình của hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy

duong-trung-binh-cua-hinh-thang

Hình thang ABCD (AB //CD) có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC thì EF // AB // CD và EF = (AB + CD)/2

Tham khảo thêm:

Bài tập áp dụng công thức tính đường trung bình của hình thang có lời giải

Dạng 1: Dựa vào đường trung bình của hình thang để tính độ dài các cạnh

Phương pháp: Sử dụng tính chất đường trung bình của hình thang.

  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
  • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

Dạng 2. Sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các định lý liên quan đến đường trung bình của hình thang để chứng minh.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các đường phân giác ngoài của A, D và cách giải cắt nhau tại E, cắc đường phân giác ngoài B, C và cách giải cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) EF song song AB và CD.

b) EF có độ dạng bằng nửa chu vi hình thang ABCD.

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-1

Lời giải

Vì AE là phân giác góc ngoài của A nên A1 = A2

Vì DE là phân giác góc ngoài của D nên D1 = D2

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-2

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-3

=> DE = AE

Gọi AE ∩ DC = M

ΔADM có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ΔADM cân tại D

Nên DE là đường trung tuyến của ΔADM

=> E là trung điểm của AM.

Gọi BF ∩ DC = N

Chứng minh tương tự có điểm F là trung điểm BN

Lại có tứ giác ABNM có AB // MN (AB // CD) nên ABNM là hình thang

Mà có E, F lần lượt là trung điểm của AM và BN

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABNM

=> EF // AB // MM

Hay EF // AB // CD

b) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABNM

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-4

Mà MD = AD (do tam giác AMD cân tại D); CN = BC (do tam giác BCN cân tại C) nên thay vào (1) ta có:

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-5

Vậy độ dài EF bằng nửa chu vi tứ giác ABCD.

Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của hình thang để chứng minh.

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các định nghĩa định lý về đường trung bình để chứng minh bài toán

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh:

a) M, N ,P, Q cùng nằm trên một đường thẳng

b, NP = ½(DC – AB)

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-6

a) Ta có M là trung điểm của AD, Q là trung điểm BC

=> MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> MQ // AB // CD (1)

M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BD

=> MN là đường trung bình của tam giác DAB

=> MN // AB (2)

P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC

=> PQ là đường trung bình của tam giác ABC

=> PQ // AB (3)

Từ (1), (2) , (3) => MN // MQ // QP // AB

=> bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

=> M, N, P, Q thuộc cùng một đường thẳng

b) Đặt AB = a; CD = b

Vì MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

MQ = (AB + CD)/2 = (a +b)/2

Lại có MN, PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và ABC

MN = a/2; PQ = a/2

Ta có:

MQ = MN + NP + PQ = a/2 + NP + a/2 = (a + b)/2

NP = (a + b)/2 – a/2 – a/2

NP = (b – a)/2 = ½(DC – AB)

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nhớ được định nghĩa, tính chất và công thức tính đường trung bình của hình thang để áp dụng vào làm bài tập nhé

We will be happy to hear your thoughts

Leave a reply