Vecto pháp tuyến là gì? Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng kèm VD

Vectơ pháp tuyến cũng như cách tìm Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là nội dung chương trình trọng tâm của Toán 10, phân môn Hình học. Tuy nhiên, có rất nhiều học sinh không nắm được vecto pháp tuyến là gì và cách tìm vecto pháp tuyến. Chính vì vậy, THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ giải đáp lý thuyết vecto pháp tuyến kèm theo các dạng bài tập trong bài viết dưới đây

Tham khảo thêm:

• Số thực là gì? Tính chất của số thực và bài tập chi tiết từ A – Z
• Hỗn số là gì? Cách chuyển đổi của hỗn số và bài tập chính xác 100%
• Số hữu tỉ là gì? Cách so sánh số hữu tỉ và bài tập có lời giải từ A – Z

Vectơ pháp tuyến là gì?

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu n≠ 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của Δ

Nhận xét:

• Nếu n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì kn (k≠0)cũng là một vectơ pháp tuyến của , do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
• Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

Các công thức tính vectơ pháp tuyến

– Cho n là vecto pháp tuyến của Δ ⇒ kn (k ≠ 0) là vectơ pháp tuyến của Δ

– Cho đường thẳng Δ= ax + by + c = 0 ⇒ Vectơ pháp tuyến của Δ là n = (a;b)

– Cho đường thẳng Δ có vecto chỉ phương u = (a;b) thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là n = (b;-a), n’ = (b;-a)

– Cho đường thẳng d và d’. Biết d ⊥ d’ : : Nếu d’ có vectơ chỉ phương là u = (a;b) thì vectơ pháp tuyến của d là n = (a;b)

– Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’: Nếu d’ có vectơ chỉ phương u= (a;b) thì vectơ pháp tuyến của d là n = (-b;a), n =(b;-a)

Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Dạng 1: Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát ax + by + c = 0 với a2 + b2 0 thì vecto pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là n= (a;b)

Dạng 2: Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số:

Vecto pháp tuyến của đường thẳng trong trường hợp này là u = (a;b), khi đó vecto pháp tuyến của đường thẳng sẽ la n= (-b;a) hoặc n= (b;-a)

Dạng 3: Nếu bài toán yêu cầu phương trình đường thẳng d và d vuông góc với một đường thẳng d’ có phương trình: ax + by + c = 0 thì ta làm như sau:

• Xác định vecto pháp tuyến d’ là: n(a;b)
• Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: u=(-b;a) hoặc u =(b;-a)
• Vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên vecto chỉ phương của đường thẳng nà là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại đó vecto pháp tuyến của d chính là vecto chỉ phương u= (-b;a) của d’

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến và đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành , hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông

Dạng 4: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng d biết d song song với một đường thẳng d’ có phương trình: ax + by + c = 0 thì ta làm như sau:

• Xác định vecto pháp tuyến của d’ là: n(a;b)
• Vì 2 đường thẳng song song với nhau nên vecto pháp tuyến của đường thẳng này chính là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. do đó vecto pháp tuyến của d chính là vecto n = (a;b) của d’

Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung tình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song

Các dạng bài tập vectơ pháp tuyến thường gặp

Bài 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?

Giải:

Đường thẳng song song với Ox có phương trình là : y + m= 0 ( với m ≠ 0) .

Đường thẳng này nhận vecto n→( 0; 1) làm VTPT.

Suy ra vecto n’→( 0; -1 ) cũng là VTPT của đường thẳng( hai vecto n→ và n’→ là cùng phương) .

Bài 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?

Giải:

Đường thẳng song song với Oy có phương trình là : x + m= 0 ( với m ≠ 0) .

Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

Suy ra vecto n’→( 2; 0 ) cũng là VTPT của đường thẳng( hai vecto n→ và n’→ là cùng phương) .

Bài 3: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Giải:

Ta xét các phương án :

+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 – 2.0 + 3 = 0 vô lí

⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.

+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 – 2.2 + 3 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.

Bài 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?

Giải:

Đường thẳng song song với Oy có phương trình chính là : x + m = 0 ( với m ≠ 0 ). Đường thẳng này nhận vecto n → ( 1 ; 0 ) làm VTPT . Suy ra vecto n ‘ → ( 2 ; 0 ) cũng chính là VTPT của đường thẳng ( hai vecto n → , và n ‘ → là cùng phương ) .

Bài 5: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?

Giải:

+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.(-3) – 3.0 + 6 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 – 3.2 + 6 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 – 3.4 + 6 = 0

⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 – 3.2 + 6 = 2 ≠ 0

⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.

Trên đây chúng tôi đã giới thiệu đến các bạn lý thuyết về Vecto pháp tuyến là gì và cách tìm Vectơ pháp tuyến của đường thẳng cực hay. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn.