Đối xứng trục là gì? Các dạng bài tập thường gặp chi tiết từ A – Z

Đối xứng trục là gì ? Hình như thế nào sẽ có trục đối xứng ? Cùng chúng tôi đi định nghĩa và giải đáp những thắc mắc dưới nội dung bài viết này nhé !

Tham khảo thêm:

Cách tính Delta là gì? Công thức và các dạng bài tập chi tiết từ A -Z
Lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì? Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối kèm bài tập có lời giải

Nội Dung

Lý thuyết về đối xứng trục

Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó

Quy ước: Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng của B qua đường thẳng d cũng chính là điểm B.

Hai hình đối xứng qua đường thẳng

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

Hình có trục đối xứng

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

Định lý: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang đó.

Các dạng bài tập liên quan đến đối xứng trục

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) D đối xứng với E qua AH.

b) Δ ADC đối xứng với Δ AEB qua AH.

Giải:

a) Vì Δ ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là đường phân giác của góc A.

Theo giả thiết ta có AD = AE nên Δ ADE cân tại A nên AH là đường trung trực của DE

⇒ D đối xứng với E qua AH.

b) Vì Δ ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là trung trực của BC.

⇒ B đối xứng với C qua AH, E đối xứng với D qua AH.

Mặt khác, ta có A đối xứng với A qua AH theo quy ước.

⇒ Δ ADC đối xứng với Δ AEB qua AH.

Bài 2: Cho Δ ABC có Aˆ = 500, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE.

b) Tính số đo góc DAEˆ = ?

Giải:

a) Theo giả thiết ta có:

+ D đối xứng với M qua AB.

+ E đối xứng với M qua AC.

+ A đối xứng với A qua AB, AC.

⇒ AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.

Áp dụng tính chất đối xứng ta có:

b) Theo ý câu a, ta có

+ A₁ˆ đối xứng A₂ˆ qua AB

+ A₃ˆ đối xứng A₄ˆ qua AC.

Áp dụng tính chất đối xứng trục, ta có:

Vậy DAEˆ = 100⁰.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến AA’, BB’, CC’. Trục đối xứng của tam giác ABC là:

Giải:

Do tam giác ABC cân tại A, nên đường trung tuyến AA’ đồng thời là đường trung trực.

Do đó AA’ là trục đối xứng của tam giác ABC.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại B, các đường trung tuyến AA’, BB’, CC’. Trục đối xứng của tam giác ABC là:

Giải:

Do tam giác ABC cân tại B, nên đường trung tuyến BB’ đồng thời là đường trung trực.

Do đó BB’ là trục đối xứng của tam giác ABC.

Bài 5: Cho hình vẽ, AD = AE, AG là trung trực của DE. Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục AG (các đoạn thẳng thuộc đường thẳng AD, AE)?

Giải:

Từ giả thiết ta thấy ΔADE cân tại A có AG là đường cao nên AG cũng là đường trung trực của DE.

Nên điểm D và E đối xứng nhau qua AG.

Lại có BC // DE (cùng vuông với AG) nên suy ra AB/ AD = AC/AE

Mà AD = AE (gt) ⇒ AB = AC

Do đó ΔABC cân tại A có AF là đường cao nên AF cũng là đường trung trực của BC.

Từ đó điểm B, C đối xứng nhau qua AG.

Như vậy:
+ Hai đoạn thẳng BD, CE đối xứng nhau qua AG.

+ Hai đoạn thẳng AB, AC đối xứng nhau qua AG

+ Hai đoạn thẳng AD, AE đối xứng nhau qua AG

Bài 6: Cho ΔABC và ΔA’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d biết AB = 4cm, BC = 7cm và chu vi của tam giác ABC = 17cm. Khi đó độ dài cạnh C’A’ của tam giác A’B’C’ là:

Giải:

+ Xét tam giác ABC có chu vi PABC = AB + AC + BC ⇒ PABC = 6cm.

+ Vì tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d nên AC = A’C’ = 6cm

Bài 7: Cho ΔABC và ΔA’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d biết AB = 8cm, BC = 11cm và chu vi của tam giác ABC = 30 cm. Khi đó độ dài cạnh C’A’ của tam giác A’B’C’ là:

Giải:

+ Xét tam giác ABC có chu vi PABC = AB + AC + BC ⇒ PABC = 11cm.

+ Vì tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d nên AC = A’C’ = 11cm

Bài 8: Cho tam giác ABC, trong đó AB = 11cm, AC = 15cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trục là cạnh BC. Chu vi của tứ giác tạo thành là:

Giải: