Đối xứng tâm là gì? Các dạng bài tập thường gặp chi tiết từ A – Z

Một trong những bài học các em không thể bỏ qua trong Toán học lớp 8 chính là bài học về phép đối xứng tâm. Bài học này, chúng tôi sẽ giới thiệu đến các em phần lý thuyết chung và phần thực hành liên quan nhé.

Tham khảo thêm:

Nội Dung

Lý thuyết về đối xứng tâm

Hai điểm đối xứng qua một điểm

Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai điểm M và M’ gọi là hai điểm đối xứng với nhau qua điểm I.

Hai hình đối xứng qua một điểm

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm I và ngược lại.

Điểm I gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

Hình có tâm đối xứng

Định nghĩa: Điểm I gọi là tâm đối xứng qua hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm I cũng thuộc hình H.

Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

Các dạng toán liên quan đến đối xứng tâm

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, chu vi tam giác, tứ giác.

Phương pháp: Sử dụng chú ý: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

Bài 1: Cho AB = 6cm, A’ là điểm đối xứng với A qua B, AA’ có độ dài bằng bao nhiêu ?

Giải:

Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Khi đó, A’ là điểm đối xứng với A qua B thì AB = BA’ = 6cm

⇒ AA’ = AB + BA’ = 6 + 6 = 12cm

Baì 2: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng với nhau qua điểm I biết AB = 4cm, AC = 8cm và chu vi của tam giác ABC bằng 22cm. Hỏi độ dài cạnh B’C’ của tam giác A’B’C’ là?

Giải:

Ta có tính chất: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

⇒ BC = B’C’ = 22 – 8 – 4 = 10( cm )

Bài 3: Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O. Biết chu vi của tam giác A’B’C’ là 32cm. Chu vi của tam giác ABC là:

Giải:

Vì tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O nên ΔABC = ΔA’B’C’

⇒ AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’

Nên AB + AC + BC = A’B’ + A’C’ + B’C’

⇒ PABC = PA’B’C’

Do đó chu vi tam giác ABC là PABC = 32cm

Bài 4: Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O. Biết chu vi của tam giác A’B’C’ là 40cm. Chu vi của tam giác ABC là:

Giải:

Vì tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O nên ΔABC = ΔA’B’C’

⇒ AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’

Nên AB + AC + BC = A’B’ + A’C’ + B’C’

⇒ PABC = PA’B’C’

Do đó chu vi tam giác ABC là PABC = 40cm

Bài 5: Cho tam giác ABC, trong đó AB = 15cm, BC = 12cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh AC. Chu vi của tứ giác tạo thành là:

Giải:

Lấy M là trung điểm AC khi đó A, C đối xứng nhau qua M. Vẽ B’ đối xứng với B qua O. Khi đó tam giác B’AC đối xứng với tam giác ABC qua M. Tứ giác tạo thành là ABCB’.

Vì tam giác B’AC đối xứng với tam giác BCA qua M nên AB’ = BC = 15cm; B’C = AB = 12cm

Chu vi tam giác ABCB’ là AB + AC + CB’ + AB’ = 12 + 15 + 12 + 15 = 54 cm

Bài 6: Cho tam giác ABC, đường cao AH, trong đó BC = 18cm, AH = 3cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh BC. Diện tích của tam giác tạo thành là:

Giải:

Gọi tam giác A’CB đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm cạnh BC. Khi đó ΔABC = ΔA’CB

Nên SABC = SA’BC.

Ta có SABC = 1/2AH.BC = 1/2.3.18 = 27 cm2 nên SA’BC = 27cm2

Dạng 2: Xác định tâm đối xứng của một hình. Xác định các yếu tố đối xứng nhau qua một điểm. Chứng minh các hệ thức hình học.

Phương pháp: Ta thường sử dụng các định nghĩa và định lý sau:

+ Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A, F là điểm đối xứng với D qua C. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua

Giải:

Theo giả thiết ta có:

+ A là trung điểm của DE thì AD = AE ( 1 )

+ C là trung điểm của DF thì CD = CF ( 2 )

Ta có ABCD là hình bình hành nên AD//BC

⇒ AE//BC ( 3 ) và AD = BC ( 4 )

Từ ( 1 ), ( 4 ) ⇒ AE = BC ( 5 )

Từ ( 3 ) và ( 5 ), tứ giác ACBE có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng tính chất và định nghĩa về hình bình hành ACBE ta được:

Chứng minh tương tự, tứ giác ACBF là hình bình hành

Từ ( 6 ), ( 7 ) ⇒ E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

Bài 2: Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh B đối xứng với C qua O.

Giải: