Công thức tính diện tích mặt cầu và bài tập có lời giải từ A – Z

Tiếp tục ở chuyên mục Toán Học hôm nay, THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ chia sẻ tới các bạn công thức tính diện tích mặt cầu kèm theo các dạng bài tập có lời giải chi tiết giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để vận dụng vào làm bài tập nhanh chóng nhé

Mặt cầu là gì?

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí hiệu: S(I;R). Khi đó: S(I;R) = {M | IM = R}

cong-thuc-tinh-dien-tich-mat-cau

Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích của mặt cầu được tính bằng 4 lần số pi nhân với lập phương bán kính mặt cầu hoặc bằng tích của số pi và bình phương đường kính mặt cầu.

Smặt cầu = 4π.R3 = π. d2 (1)

Trong đó:

  • Smặt cầu : Diện tích của mặt cầu
  • R là bán kính mặt cầu
  • d là đường kính mặt cầu
  • π : Số pi (π = 3,14)

Tham khảo thêm:

Bài tập tính diện tích mặt cầu có lời giải chi tết

Ví dụ 1: Tính diện tích của mặt cầu có bán kính nối từ tâm O dài:

a) 8 m
b) 1,3 dm
c) 2 cm
d) 15 cm

Giải

a) Diện tích của  mặt cầu là:

Smặt cầu = 4π.R34 x 3,14 x 83 = 6430,72 (m2)

b) Diện tích của mặt cầu là:

Smặt cầu = 4π.R34 x 3,14 x 1,33 = 27,59432 (dm2)

c) Diện tích của mặt cầu là:

Smặt cầu = 4π.R34 x 3,14 x 23 = 100,48 (cm2)

d) Diện tích của mặt cầu là:

Smặt cầu = 4π.R34 x 3,14 x 153 = 42390 (cm2)

Ví dụ 2: Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ).

cong-thuc-tinh-dien-tich-mat-cau-1

Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là 128π/3 m3. Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m2.

Lời giải

Gọi 4x ( m) là đường sinh hình trụ.

Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x (m).

Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R = x;
đường sinh l = h = 4x và thể tích khối cầu có bán kính R= x.

Do đó, thể tích bồn chứa nước là:

cong-thuc-tinh-dien-tich-mat-cau-2

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a√3, góc SAB=SCB= 900 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Lời giải:

Gọi D là hình chiếu của S trên (ABC).

H là chân đường cao kẻ từ D của tam giác vuông SDC.

∡SAB = ∡SCB = 90 độ

⇒∡DAB = ∡DCB = 90 độ

⇒ ABCD là hình vuông.

Xét tam giác vuông SDC (vuông tại D) có :

DC = AB = a√3

DH = d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = a√2

⇒ DS = a√6

⇒ SC = 3a

⇒ SB = 2a√3

Gọi O là trung điểm của SB, ta có OA = OB = OC = OS = a√3.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là R = a√3

⇒ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là S = 4πR2 = 12πa2.

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể nắm được công thức tính diện tích mặt cầu để áp dụng vào làm các bài tập nhé

We will be happy to hear your thoughts

Leave a reply