Công thức tính thể tích tứ diện trong không gian

Công thức tính thể tích tứ diện trong không gian được áp dụng trong bài toán là VABCD = 16|[AB→;AC→].AD→|. Thông qua công thức này, chúng ta có thể tính toán thể tích của các khối tứ diện dựa trên tọa độ các điểm A, B, C và D.

Nội Dung

1. Công thức tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là gì?

Thể tích của một khối hộp có các đỉnh là ABCD.A’B’C’D’ có thể được tính bằng công thức sau:

V = |[AB→; AC→].AA’→| = |[AB→; AD→].AA’→|

2. Công thức tính thể tích khối tứ diện ABCD là gì?

Thể tích của một khối tứ diện ABCD có thể được tính bằng công thức sau:

V = 1/6 |[AB→; AC→].AD→|

Ví dụ:

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD với tọa độ các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0).

Giải:

-−→AB=(−1;1;0)

-−→AC=(−1;0;1)

[−−→AB,−−→AC]=(∣∣∣1 00 1∣∣∣;

(∣∣∣0 -11 -1∣∣∣;

(∣∣∣-11 10 -10|=(1, 1, 1)

-−→AD=(−3;1;0)

V = 16 |[AB→; AC→.AD→]| = 16 |-2.1+1.1+0.1| = 26/6 = 13/3

4. Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.

Kẻ đường cao DH

DH=3VD.ABCSΔABC=3VABCDSABCDH=3VD.ABCSΔABC=3VABCDSABC

=112|[−−→AB,−−→AC]|=2√12+12+12=2√32=112|(AB→,AC→)|=212+12+12=23

5. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.MNAB với tọa độ các điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2√222).

Giải:

O = AC ∩ BD nên O là trung điểm AC

xC = (2×0 – xA)/A = (-2yC)/A

yC = (yA * xC) / xA = 0
zC = (zA * xC) / yA = 0
C(-2;0;0)

M là trung điểm SC nên M(-1;0;√2)

O là trung điểm BD nên D(0;-1;0)

N là trung điểm SD nên N(0;-1/2;√2)

[SA→, SM→] = (|00−2√22 −√22|;|−2√220 −1|;|20−10|) = (0;4√2;0)

[SA→, SB→] = (|20−2√20 −2√222|) = (0;1;-2√2)
VS.AMBN=16|[SA→, SM→. SB→]|=16* |((4 * √2) * (- 2 * √ 2))|=232

6. Tìm tọa độ điểm O trên cạnh AC của khối tứ diện ABCD nếu O là trung điểm cạnh BD.

Bởi vì O là trung điểm của cạnh BD, ta có thể sử dụng công thức để tính tọa độ của O:
xO = (xD + xB)/ 2
yO = (yD + yB)/ 2
zO = (zD + zB)/ 2

7. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.MNAB với tọa độ các điểm A(1;-2;-3), B(-2;-2;-3), C(-2;-4;-1) và D(1;-4;-1).

Giải:

[SA→, SM→] = (|0 −2−30 −2∣∣;|−2−4∣∣001∣∣)=(0;6;(-8)

[SA→, SB→] = (|1+21+300-401|=16

V.S.AMBN=V.SAMB+V.SAMN=13.16+12*16=5*18=90

8. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD với các điểm A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12).

Giải:

-−→AB=(−34)AB→=(32)

-−→AC=(19)(25)

[AB→, AC→]=(|29-45-27|)=42

-−→AD=(6-10)AD→=(14)

V = 16 |[AB˙, AC˙.AD˙]| = 16 |-15 + 7 + 129| =212/6 =106/3

5. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.MNAB với tọa độ các điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2√222).

Tính toán

Để tính thể tích của hình chóp S.ABCD.MNAB, ta sử dụng công thức:
V = (1/3) * S * H,
trong đó V là thể tích, S là diện tích đáy của hình chóp và H là chiều cao từ đỉnh chóp xuống đáy.

Bước 1: Tìm vectơ các cạnh của tam giác đáy ABC.
– Vectơ AB: AB = B – A
= (0 – 2; 1 – 0; 0 – 0)
= (-2; 1; 0)
– Vectơ AC: AC = C – A
= (0 – 2; 0 – 0; √222 – 0)
= (-2; 0; √222)

Bước 2: Tính diện tích đáy của hình chóp.
– Diện tích đáy được tính bằng cách lấy nửa chu vi nhân với bán kính trong.
– Chu vi tam giác ABC: P = ||AB|| + ||AC|| + ||BC||
= √((-2)^2 + 1^2 + 0^2) + √((-2)^2 + 0^2 + (√222)^2) + √1^2 + 0^2 + (√222)^2)
= √5 + 4√222
– Bán kính trong: r = P/2
= (√5 + 4√222)/2
= (1/2)√5 + 2√222

Bước 3: Tính chiều cao của hình chóp.
– Chiều cao từ đỉnh S xuống đáy ABC: H = ||SA|| * cosθ,
trong đó θ là góc giữa SA và hình chóp.
– Gọi M là trung điểm của SC, ta có:
– Vectơ SM: SM = M – S
= (-1 – 0; 0 – 0; √2 – √(√5^2 + (√222/2)^2))
= (-1; 0; √(4 – (√5^2 + (√222/2)^22)))
– Vectơ SA: SA = A – S
= (2 – 0; 0 – 0; 0 – √(4 – (√5^2 + (√222/2)^22)))
= (2; 0; -(√(4 – (√5^2 + (√222/2)^22))))
=> Cosθ=SM.SA/(||SM||*||SA||)
=(10+(4-(13+221)/8))/sqrt((3.14+sqrt(1236))/16*(1-(13+221)/64))
≈ sqrt((100+(416-132)-(13+221)/8))/sqrt((3.14+21.32)/16*(199-13-221)/64)
≈ sqrt((384-(13+221)/8))/sqrt(21.46/16*(185-221)/64)
≈ sqrt(384-(13+221)/8)/sqrt(21.46/16*(-36)/64)
≈ sqrt(156.5)/sqrt(-0.53)
≈ NaN (Không xác định)

Vì cosθ không xác định, nên không thể tính được chiều cao của hình chóp.

Chú ý: Cần kiểm tra lại dữ kiện về tọa độ các điểm đã cho và công thức tính cosθ để đảm bảo tính toán chính xác.

6. Tìm tọa độ điểm O trên cạnh AC của khối tứ diện ABCD nếu O là trung điểm cạnh BD.

Tính toán

Để tìm tọa độ điểm O trên cạnh AC, ta sử dụng thông tin rằng O là trung điểm của cạnh BD.

Bước 1: Tính toán tọa độ của B và D.
– Tọa độ B: (0; 1; 0)
– Tọa độ D: (0; -1; 0)

Bước 2: Tính toán tọa độ của O.
– Vì O là trung điểm BD, nên tọa độ của O là trung bình cộng tọa độ của B và D.
– Tọa độ O: ((0 + 0)/2; (1 – 1)/2; (0 + 0)/2)
= (0; 0; 0)

Do đó, tọa độ điểm O trên cạnh AC của khối tứ diện ABCD là (0; 0; 0).

7. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.MNAB với tọa độ các điểm A(1;-2;-3), B(-2;-2;-3), C(-2;-4;-1) và D(1;-4;-1).

Tính toán

Bước 1: Tìm vectơ các cạnh tam giác đáy ABC.
– Vectơ AB: AB = B – A
= (-2 – 1; -2 – (-2); -3 – (-3))
= (-3; 0; 0)
– Vectơ AC: AC = C – A
= (-2 – 1; -4 – (-2); -1 – (-3))
= (-3; -4; 2)

Bước 2: Tính diện tích đáy của hình chóp.
– Chu vi tam giác ABC: P = ||AB|| + ||AC|| + ||BC||
= √((-3)^2 + 0^2 + 0^2) + √((-3)^2 + (-4)^2 + 2^2) + √0^2 + (-4)^2 + (-3)^2)
= √9 + √(’25+4+1′) + √16
= 3 + ‘5+1′ + 4
= ’14+6′
= 20

Bước 3: Tìm chiều cao của hình chóp.
– Chiều cao từ đỉnh S xuống đáy ABC: H = ||SA|| * cosθ,
trong đó θ là góc giữa SA và hình chóp.
– Gọi M là trung điểm SC, ta có:
– Vectơ SM: SM = M – S
= (-1 – 1; -4 – (-2); -1 – (-3))
= (-2; -2; 2)

Với công thức tính cosθ, ta có:

Cosθ=SM.SA/(||SM||*||SA||)
=(∑(i=1->n) Sim.SAi)/(∛(∑(i=1->n)(Sim^2))*∛(∑(i=1->n)(SAim^2)))
=(∑(i=1->n)-6)/(∛32*∛14)
≈’-6/39.7′
≈-’30/199.6′

Bước 4: Tính thể tích của hình chóp.
– V = (1/3) * S * H
= (1/3) * 20 * ”30/199.6′
= ‘600/(3*199.6)’
≈’600/599.4′

Vậy, thể tích của hình chóp S.ABCD.MNAB với tọa độ các điểm A(1;-2;-3), B(-2;-2;-3), C(-2;-4;-1) và D(1;-4;-1) là ”600/599.4′.

1. Thể tích khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’

Paragraph: Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức tính thể tích thông qua các vectơ. Công thức này được xác định bằng cách tính định thức của ma trận có 3 hàng là các vectơ tạo thành từ các điểm trong không gian.

Đầu tiên, ta xác định được các vectơ AB, AC và AA’ (ở đây chúng ta chọn điểm A’ làm gốc tọa độ). Từ đó, ta có thể tính toán được giá trị của ma trận và sau đó tính định thức của ma trận này. Kết quả là giá trị volumn của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Paragraph: Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta cũng sử dụng công thức dựa trên các vectơ. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần lấy giá trị tuyệt đối của kết quả đã tính được.

Trước tiên, ta xác định các vectơ AB, AC và AD. Sau đó, chúng ta áp dụng công thức để tính toán giá trị của ma trận. Quá trình tính toán cũng tương tự như trong phần trước. Tuy nhiên, kết quả cuối cùng chính là thể tích của khối tứ diện ABCD.

Dưới đây là ví dụ về cách tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo các công thức đã được đề cập.
VD1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0)
Giải
– Đầu tiên, xác định vectơ AB và AC:
AB = (-1; 1; 0)
AC = (-1; 0 ; 1)

– Tiếp theo, tính định thức của ma trận có các vectơ AB, AC và AD:
VABCD = |[AB→ ; AC→]. AD→| = |[-2. 1 + 1. 1 + 0. 1]|

– Thực hiện các phép tính để tìm ra giá trị cuối cùng:
VABCD = |[-2 + 1]| = |-1| = 1

1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức:

V_{ABCD.A’B’C’D’}=|[(→AB;→AC).(→AA’)| = |[(→AB;→AD).(→AA’)|

Tính các vector cần thiết:

Vector →AB = (1-(-2), -2-1, 3-0) = (3, -3, 3)
Vector →AC = (-3-(-2), 4-1, -6-0) = (-1, 3, -6)
Vector →AD = (4-(-2), -9-1, -12-0) = (6, -10, -12)
Vector →AA’ = (0+2, 0-1, 0-0) = (2,-1,0)

Tính giá trị thể tích:

V_{ABCD.A’B’C’D’}=|[→AB;→AC].(→AA’)|=|(∣∣∣3 −13 −6∣∣∣).(2−10−20)|=|((9+39+0)+(18+30+0))|=|(48+(48))|=|96|=96

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức:

V_ABCD=16|[→AB;→AC].→AD|

Tính các vector cần thiết:

Vector →AB = (1-(-2), -2-1, 3-0) = (3, -3, 3)
Vector →AC = (-3-(-2), 4-1, -6-0) = (-1, 3, -6)
Vector →AD = (4-(-2), -9-1, -12-0) = (6, -10, -12)

Tính giá trị thể tích:

V_ABCD=16|[→AB;→AC].→AD|=|∣∣(∣∣∣3 −13 −6∣∣∣).6+((−1.6)+(−18))+(−66)∣∣|=| (∣∣(9+39+0).6+((-6)+(-18))+66) ∖|(144+(12)-66)=|(90)|=90

Bài tập ví dụ:

Ví dụ: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0).

Giải:

Vector →AB = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)
Vector →AC = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)
Vector →AD = (-2-1, 1-0, 0-0) = (-3, 1, 0)

Tính giá trị thể tích:

V_ABCD=16|[→AB;→AC].→AD|=|∣∣(∣−11 00 11∣).(−31+01+00) ∣|=| (∣(−3)+(−3)+01(−3)) ∖|=|(9+36)|= |-45|=45

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.

Kẻ đường cao DH

Vector →VD = (4-(-2), -9-1,-12-0) = (6,-10,-12)

Tính giá trị độ dài đường cao:

DH=3·V^D.ABCSΔABC=3/|[(→AB;→AC]|=3/|((−11)(−121))×6)=32‾‾√=23‾‾√=23. Với ‾‾√ là dấu căn.

1. Phương pháp tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có công thức:

V_{ABCD.A’B’C’D’}=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣

Ta thay vào các giá trị của vectơ AB, AC, AD và AA’, ta có:

[-2;1;0] là giá trị của vectơ AB.
[1;-2;3] là giá trị của vectơ AC.
[-3;4;-6] là giá trị của vectơ AD.

Tính theo công thức, ta có:

V_{ABCD.A’B’C’D’}=|[AB→;AC→].AA’→|=|[AB→;AD→].AA’→|

2. Phương pháp tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có công thức:

V_ABCD=16∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣

Ta thay vào các giá trị của vectơ AB, AC và AD, ta có:

[1;0;0] là giá trị của vectơ AB.
[0;1;0] là giá trị của vectơ AC.
[-2;1;0] là giá trị của vectơ AD.

Tính theo công thức, ta có:

V_ABCD=16|[AB→;AC→].AD→|

Bài tập ví dụ 1: Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;0). Ta cần tính thể tích của khối tứ diện ABCD.

Ta tính các vectơ AB, AC và AD:

Vectơ AB = [-1; 1; 0]
Vectơ AC = [-1; 0 ; 1]
Vectơ AD = [-3 ; 1 ; 0]

Tiếp theo, ta tính thể tích V_ABCD bằng công thức:

V_ABCD = 16|[AB→ ; AC→].AD→|

Bài tập ví dụ 2: Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD

Trong khối tứ diện ABCD, ta cần tính độ dài đường cao kẻ từ điểm D.

Đường cao DH được kéo từ D và vuông góc với mặt phẳng chứa ABC.

Tiếp theo, ta tính độ dài DH bằng công thức:

DH = 3VD.ABCSΔABC = 3VABCDSABCDH = 3VD.ABCSΔABC = 3VABCDSABC

Với V_ABCDS là thể tích của hình chiếu của khối tứ diện ABCD lên mặt phẳng chứa ABC.

Tính giá trị của vectơ AB và AC, ta có:

Vectơ AB = [-1;1;0]
Vectơ AC = [-1;0;1]

Tiếp theo, ta tính thể tích V_ABCDS bằng công thức:

V_ABCDS = 1/12|[AB→ ; AC→]|=2√3

1. Thể tích khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’

Đầu tiên, để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’, ta cần xác định các đại lượng trong công thức tính thể tích.

Theo công thức, thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng định determinant của hai vector chỉ phương của hai cạnh không kề nhau và một vector từ một điểm thuộc mặt này tới một điểm thuộc mặt kia.

Với A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12), ta có:

Cạnh AB có vector chỉ phương: AB→ = (1 + 2)i + (-2 – 1)j + (3 – 0)k = 3i – 3j + 3k
Cạnh AC có vector chỉ phương: AC→ = (-3 + 2)i + (4 – 1)j + (-6 – 0)k = -1i + 3j – 6k
Một vector bất kỳ trong mặt là AA’→ = (x_a-x_a’)i+(y_a-y_a’)j+(z_a-z_a’)k with A’ is any point in the plane

Sau đó, ta sử dụng công thức đã cho để tính thể tích:

VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→;AC→].AA’→| = |[3, -3, 3; -1, 3, -6; x_a-x_a’, y_a-y_a’, z_a-z_a’]|

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Tương tự như cách tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’, ta sẽ tính thể tích của khối tứ diện ABCD bằng công thức đã cho.

Với A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12), ta có:

Cạnh AB có vector chỉ phương: AB→ = (1 + 2)i + (-2 – 1)j + (3 – 0)k = 3i – 3j + 3k
Cạnh AC có vector chỉ phương: AC→ = (-3 + 2)i + (4 – 1)j + (-6 – 0)k = -1i + 3j – 6k
Cạnh AD có vector chỉ phương: AD→ = (4 + 2)i + (-9 – 1)j + (-12 – 0)k = 6i -10j -12k

Sau đó, ta sử dụng công thức đã cho để tính thể tích:

VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|=16|[3, -3, 3; -1, 3, -6; 6, -10, -12]|

1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Thể tích của một khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể được tính bằng công thức sau: V = |[−−→AB;−−→AC].−−→AA′|. Đầu tiên, ta cần xác định các vectơ đường chéo AB và AC của khối hộp. Việc này có thể thực hiện bằng cách lấy hiệu tọa độ giữa các điểm A và B (AB→), và giữa các điểm A và C (AC→). Khi đã có các vectơ đường chéo, ta có thể tính tích vô hướng của chúng với vectơ dọc AA’ để tìm ra giá trị thể tích.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của một khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức V = 16|[AB→;AC→].AD→|. Trong công thức này, AB→ và AC→ là hai vectơ hai chiều của các cạnh đáy của tứ diện, trong khi AD→ là một vectơ ba chiều của cạnh từ điểm D đến mặt phẳng nằm song song với ABDC. Bằng cách tìm các giá trị tương ứng cho những vectơ này và sử dụng công thức, ta có thể tính được thể tích của tứ diện ABCD.

Bài tập

VD1: Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD với tọa độ A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;0), ta sử dụng công thức V = 16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣. Đầu tiên, ta cần xác định các vectơ AB→, AC→ và AD→. Sau đó, ta tính giá trị của công thức và nhận được kết quả là 13.

VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Xác định các điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2√222) trên hình chóp. Ta cần tính giá trị của VSABMN. Đầu tiên, ta xác định các điểm M và N trên hình chóp bằng cách sử dụng thông tin về trung điểm SC và SD. Sau đó, ta tính giá trị của VSABMN sử dụng công thức V = VS.AMB + VS.AMN và nhận được kết quả là √2.

I. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Đầu tiên, ta cần tính toán các vectơ AB, AC và AD dựa trên tọa độ của điểm A, B, C và D. Công thức để tính vectơ giữa hai điểm là:
– Vectơ AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
– Vectơ AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1)
– Vectơ AD = (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1)

Sau đó, ta tính sản phẩm chéo giữa các vectơ AB và AC để có được vectơ biến thiên A′B′C′D′:
VABCD.A′B′C′D′=|[−→AB;−→AC].−→AA’|

Tiếp theo, ta tính toán thể tích của khối hàng hộp ABCD.A’B’C’D’:
VABCD.A′B′C′D′=|[AB→;AC→].AA’→|

II. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Với thông tin đã cho về tọa độ các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;0), ta sẽ tiếp tục tính toán.

Đầu tiên, ta cần tính toán vectơ AB và AC dựa trên tọa độ của điểm A, B và C. Công thức để tính vectơ giữa hai điểm là:
– Vectơ AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
– Vectơ AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1)

Sau đó, ta tính sản phẩm chéo giữa các vectơ AB và AC để có được vectơ biến thiên ABC:
[−→AB;−→AC]=(∣∣∣1 00 1∣∣∣;∣∣∣0 −11 −1∣∣∣;∣∣∣−1 1−1 0|x]= (1; 1; 1)

Tiếp theo, ta tính toán vectơ AD dựa trên tọa độ của điểm A và D.

Với các thông tin đã tính toán được, ta sẽ sử dụng công thức:
VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|
để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.

Mời bạn kiểm tra lại kết quả.

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể được tính bằng công thức sau:
VABCD.A’B’C’D’ = |[−−→AB;−−→AC].−−→AA’|= |[−−→AB;−−→AD].−−→AA’|

Đầu tiên, ta cần tính toán các vector AB, AC, AD và AA’.

Vector AB có giá trị (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = (1 – (-2), (-2) – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3).

Vector AC có giá trị (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) = (-3 – (-2), 4 – 1, (-6) – 0) = (-1, 3, -6).

Vector AD có giá trị (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1) = (4-(-2), (-9)-1,(-12)-0 )= (6,-10,-12).

Vector AA’ không được cho trong đề bài. Do đó ta không thể tính được thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Thể tích của khối tứ diện ABCD có thể được tính bằng công thức sau:
VABCD = 1/6 * |[−−→AB;−−→AC].−−→AD|

Đầu tiên, ta cần tính toán vector AB, AC và AD.

Vector AB có giá trị (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = (0 – 1, 1 – 0, 0 – 0) = (-1, 1, 0).

Vector AC có giá trị (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) = (0 – 1, 0 – 0,1-0 )= (-1, 0,1).

Vector AD có giá trị (x4-x1,y4-y1,z4-z1) =( −2-(-7),(-10)-(-5),(9)-17)= (-5,-5,-8)

Sau đó ta tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo công thức:
VABCD = 16 * |[AB→;AC→].AD→|
=16 * |-5*0 + (-5)*(-8)+(-5)*(-8)|=(-5*16)=80.

1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Công thức tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣. Để tính được thể tích của khối hộp, ta cần biết độ dài các cạnh và vector phái tuyến.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Theo công thức, để tính được thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|. Ta cần biết độ dài các cạnh và vector phái tuyến để tính được giá trị này.

II. Bài tập
VD1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0)
Giải
Đầu tiên, ta cần tìm vector AB và AC bằng cách lấy hiệu các tọa độ của điểm sau trừ điểm trước.
– Vector AB = (0-1,1-0,0-0) = (-1,1,0)
– Vector AC = (0-1,0-0,1-0) = (-1,0,1)

Tiếp theo, ta tính tích có hướng của vector AB và AC bằng cách lấy định thức của ma trận chứa các phần tử của vector AB và AC.
[AB→;AC→] = | -1 1 0 |
| -1 0 1 |
| 1 -1 0 |

Tính giá trị định thức, ta có: [AB→;AC→] = ( -(-i + j) ) = i + j

Sau đó, ta cần tìm vector AD bằng cách lấy hiệu các tọa độ của điểm sau trừ điểm trước.
– Vector AD = (-2-1,1-0,0-0) = (-3,1,0)

Cuối cùng, tính giá trị thể tích VABCD theo công thức VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|.
VABCD=16|(i+j).(3i+j)|=16|-6+2| = |-4| =4

Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là 4.

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.

Để tính được độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức: DH=3VD.ABCSΔABC=3VABCDSABCDH=3VD.ABCSΔABC=3VABCDSABC. Để tính được giá trị này, ta cần biết độ dài vector VD và diện tích ΔABC của mặt phẳng ABC.

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng công thức sau:
VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣
Đầu tiên, ta tìm các vector AB, AC, AD và AA’:
– AB = B – A = (1;-2;3) – (-2;1;0) = (3;-3;3)
– AC = C – A = (-3;4;-6) – (-2;1;0) = (-1;3;-6)
– AD = D – A = (4;-9;-12) – (-2;1;0) = (6;-10;-12)
– AA’ = A’ – A = (x_A’; y_A’; z_A’) – (-2;1;0)

Từ đó, ta có:
VABCD.A′B′C′D′=|[AB→;AC→].AA′→|

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Thể tích của khối tứ diện ABCD được tính bằng công thức sau:
VABCD=16∣∣[−−→AB,-\u2192AC].-\u2192AD││VABCD=16|[AB\u2192, AC\u2192].AD\u2192|

Đầu tiên, ta tìm các vector AB, AC và AD:
– AB = B – A = (1;-2;3) – (-2;1;0) = (3;-3;3)
– AC = C – A = (-3;4;-6) – (-2;1;0) = (-1;3;-6)
– AD = D – A = (4;-9;-12) – (-2;1;0) = (6;-10;-12)

Từ đó, ta có:
VABCD=16|[AB→, AC→].AD→|

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, chúng ta sử dụng công thức:

V_{ABCD.A’B’C’D’} = |[→AB; →AC] ⋅ →AA’|
V_{ABCD.A’B’C’D’} = |[→AB; →AD] ⋅ →AA’|

Với A’ và D’ lần lượt là điểm đối xứng với A và D qua mặt phẳng (BCD).

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, chúng ta sử dụng công thức:

V_ABCD = 1/6 |[→AB; →AC] ⋅ →AD|

Bài tập ví dụ 1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD

Bài toán cho trước các điểm A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) và D(-2,1,0). Giải theo các bước sau:

Tính toán vector AB và vector AC:

→AB = (-1, 1, 0)
→AC = (-1, 0, 1)

Tính tích có hướng giữa vector AB và vector AD:

→AD = (-3, 1, 0)

Tính thể tích khối tứ diện ABCD:

V_ABCD = 1/6 |[→AB; →AC] ⋅ →AD| = 1/6 |-2.1+1.1+0.1| = (26)/6 = (13)/3

Bài tập ví dụ 2: Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD

Bài toán yêu cầu tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD. Giải theo các bước sau:

Kẻ đường cao DH từ D xuống mặt phẳng (ABC).
Tính toán vector DH:

H=SCS⇒−−−→DH=−23∙(000)=32=
“`
H= \frac{SC}{S} \Rightarrow \overrightarrow{DH}=-\frac{2}{3}\cdot(0,0,\sqrt{2})=\frac{3}{2}=
“`

1. Thể tích khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức sau:

VABCD.A′B′C′D′ = ∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣
VABCD.A′B′C′D′ = ∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣

Từ thông tin cho trước, ta có:

[AB→; AC→] = (1;1;1)
[AB→; AD→] = (-2;1;0)
AA’→ = (3;-5;-6)

Thay các giá trị vào công thức, ta tính được thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:

VABCD = 16 ∣∣ [−→AB; −→AC]. − →AD ∣ ∣

Từ thông tin cho trước, ta có:

[AB→; AC→] = (1;1;1)
AD→ = (-3;1;0)

Thay các giá trị vào công thức, ta tính được thể tích của khối tứ diện ABCD.

1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức:

V_{ABCD.A’B’C’D’} = |[AB→; AC→].AA’→| = |[AB→; AD→].AA’→|

Với điểm A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6), D(4, -9, -12)

Ta tính các vector AB→ và AC→ như sau:

Vector AB→ = B – A = (1 – (-2), (-2) – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3)
Vector AC→ = C – A = ((-3) – (-2), 4 – 1,(-6) – 0) = (-1, 3, -6)

Tiếp theo ta tính định thức của ma trận [AB→; AC→]:

[AB→; AC→] = |(3,-3,3);(-1,3,-6)|

= (3*6 + (-3)*(-6))i + ((-1)*(-6) + (3)*(-

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức sau:

VABCD.A′B′C′D′ = ∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣
hoặc
VABCD.A′B′C′D′ = ∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣

Trong đó:
– [−−→AB;−−→AC] và [−−→AB;−−→AD] là hai vector pháp tuyến của mặt phẳng ABC và ABD, tương ứng.
– −−→AA’ là vector nối từ điểm A đến điểm A’.

Khi ta áp dụng công thức này vào bài toán trên với các điểm A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12), ta có thể tính được thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:

VABCD = 1/6 * ∣∣∣[ − → AB ; − → AC ].− → AD ∣∣∣

Trong đó:
– [−−→AB;−−→AC] là vector pháp tuyến của mặt phẳng ABC.
– −−→AD là vector nối từ điểm A đến điểm D.

Khi ta áp dụng công thức này vào bài toán trên với các điểm A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12), ta có thể tính được thể tích của khối tứ diện ABCD.

Bài tập 1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD với các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;0).

Giải:
– Khi tính thể tích khối tứ diện, ta sử dụng công thức VABCD = 16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣.
– Ta cần tính hai vector pháp tuyến [−−→AB ; −→AC] và −→AD.
– Sau khi tính toán, ta thu được VABCD = 26 = 13.

Bài tập 2: Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.

Giải:
– Đường cao kẻ từ D của khối tứ diện là DH.
– Ta sử dụng định lí Pytago để tính độ dài DH.
– Sau khi tính toán, ta thu được DH = √3 = 2√3/3.

Bài tập 1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD

Đầu tiên, ta cần tìm các vector chỉ phương của các cạnh của khối tứ diện ABCD.
Vector chỉ phương của cạnh AB là AB→=(1; -2; 3) – (-2; 1; 0) = (3; -3; 3).
Vector chỉ phương của cạnh AC là AC→=(-3; 4; -6) – (-2; 1; 0) = (-1; 3; -6).
Vector chỉ phương của cạnh AD là AD→=(4; -9; -12) – (-2; 1; 0) = (6;-10;-12).

Thể tích khối tứ diện ABCD có thể tính bằng công thức:
VABCD=16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣=16|[AB→,AC→].AD→|
Với [AB→,AC→] là định thức ma trận được tạo bởi hai vector chỉ phương AB và AC. Ta có,
[AB→,AC→]=(|3 -1|;-3 3|)=(9+3)i+(27+6)j+(9-18)k=12i+33j-9k

Từ đó, ta có: VABCD=16|[12,-33,-9].(6;-10;-12)|=16|(72+330-108)|=19488.

Vậy, thể tích của khối tứ diện ABCD là 19488 đơn vị thể tích.

Bài tập 2: Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD

Để tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD, ta cần tìm vector chỉ phương của cạnh DC và vector chỉ phương của cạnh DA.
Vector chỉ phương của cạnh DC là DC→=(-3; 4; -6) – (4; -9; -12) = (-7; 13; 6).
Vector chỉ phương của cạnh DA là DA→=(-2; 1; 0) – (4; -9; -12) = (-6; 10; 12).

Khi đó, ta có công thức tính chiều dài đường cao DH:
DH = ∣∣∣[−→AB,−→AC]⋅(AD)∣∣∣ / √(|[−→AB,−→AC]|²)

Từ các giá trị đã tính được trong bài tập trước, ta có:
[−→AB,−→AC]=(|3 -1|;-3 3|)=(12i+33j-9k)

Vậy: DH = ∣∣∣(12i+33j-9k).(6;-10;-12)∣∣∣ / √((12²+33²+(-9)²)) = √77

Do đó, độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD là √77 đơn vị độ dài.

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức:
VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣
Trong đó điểm A(-2,1,0), B(1,-2,3), C(-3,4,-6) là các đỉnh của hình chóp.

Theo công thức trên, ta có:
[AB→;AC→]=(|1 00 1|;|0 -11 -1|;|-1 14 -6|)=(1;1;1)

Với AA’ là vector từ đỉnh A đến điểm A’ của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta cần tìm AA’. Từ các tọa độ của A và các giá trị điểm A’ đã cho, ta có:
AA’ = (-2 – 0, 1 – 0, 0 – 0) = (-2, 1,0)

Áp dụng vào công thức trên, ta có:
VABCD.A′B′C′D′=|[AB→;AC→].AA′→|=|(1;1;1).(-2, 1,0)|

Calculating the dot product between [AB→;AC→] and AA’, we have:
VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=|(1;1;1).(-2, 1,0)|

Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng giá trị tuyệt đối của kết quả tích vô hướng trên, ta có thể tính được giá trị sau:
VABCD.A′B′C′D′ = |(1 * (-2)) + (1 * 1) + (1 * 0)| = |-2 + 1 + 0| = | -1 |

Từ đó suy ra, thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là |-1| = 1.

Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:
VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|

Trong công thức này, [AB→;AC→] là ma trận chứa các thành phần vector AB và AC và AD là vector từ điểm A đến điểm D.

Theo công thức trên, ta có:
[AB→;AC→]=(|1 00 1|;|0 -11 -6|)=(1;-15)

AD = (4 – (-2), -9 – 1, -12 – 0) = (6, -10, -12)

Áp dụng vào công thức trên, ta có:
VABCD=16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣

Solving the dot product between [AB→;AC→] and AD, we get:
VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|

Từ đó suy ra, thể tích của khối tứ diện ABCD được tính bằng giá trị tuyệt đối của kết quả tích vô hướng trên, ta có thể tính được giá trị sau:
VABCD = 16 * |(1 * 6) + (-15 * -10)| = 16 * |6 + 150| = 256

Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là 256.

I. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, chúng ta có thể sử dụng công thức sau:
VABCD = 16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣
Trước hết, ta cần tìm các vector AB, AC và AD.

Vector AB có thành phần là (x,y,z) với điểm A(-2,1,0) và điểm B(1,-2,3). Ta có:
AB = (1 – (-2), -2 – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3)

Tương tự, vector AC có thành phần là (x,y,z) với điểm A(-2,1,0) và điểm C(-3,4,-6). Ta có:
AC = (-3 – (-2), 4-1,-6-0) = (-1, 3,-6)

Cuối cùng, vector AD có thành phần là (x,y,z) với điểm A(-2,1.0) và điểm D(4,-9,-12). Ta có:
AD = (4 – (-2), -9-1,-12-0) = (6,-10,-12)

Tiếp theo chúng ta sẽ tính thể tích VABCD bằng cách áp dụng công thức đã cho:
VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|
Với các giá trị đã được xác định ở trên, ta có thể tính được giá trị của thể tích VABCD.

II. Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD

Để tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD, chúng ta cần biết các giá trị của các vector AB, AC và AD. Chúng ta đã tính toán các vector này ở trên.

Đầu tiên, để tìm đường cao DH, chúng ta cần biết điểm H thuộc đường cao và là giao điểm của đường cao DH với mặt phẳng ABC. Ta sử dụng công thức sau để tính toán vị trí của H:
DH = 3VD.ABCSΔABC

Trong đó VD.ABCSΔABC là diện tích tam giác ABC. Để tính toán diện tích này, chúng ta có thể sử dụng công thức Heron hoặc công thức chuẩn cho diện tích tam giác:

VABCD = 1/2 ∣∣∣[−→AB;−→AC]∣∣∣

Với các giá trị đã được xác định ở trên, ta có thể tính được giá trị ĐH.

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích của một hình tứ diện có đáy là một tứ giác và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Theo đó, thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng công thức sau:

VABCD.A′B′C′D′ = |[AB→; AC→].AA’→| = |[AB→; AD→].AA’→|

Trong đó:
– [AB→; AC→] là vector sản phẩm vô hướng của hai vector AB và AC.
– AA’→ là vector nối điểm A và điểm A’.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị của các vector trên để tính thể tích.

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, chúng ta cũng sẽ sử dụng công thức tính thể tích cho hình tứ diện với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Công thức để tính thể tích khối tứ diện ABCD như sau:

VABCD = 1/6 |[AB→; AC→].AD→|

Trong đó:
– [AB→; AC→] là vector sản phẩm vô hướng của hai vector AB và AC.
– AD→ là vector nối điểm A và điểm D.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị của các vector trên để tính thể tích.

1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức sau:

VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣

Trong đó:
– [AB→; AC→]: vector chỉ phương của 2 cạnh AB và AC
– AA’ →: vector chỉ phương của đường chéo A’A

Thay giá trị vào công thức, ta tính được thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là…

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:

VABCD = 1/6 ∣∣∣[−−→AB;−−→AC].[-→AD] ∣∣∣

Trong đó:
– [AB→; AC→]: vector chỉ phương của 2 cạnh AB và AC
– AD →: vector chỉ phương của đoạn AD

Thay giá trị vào công thức, ta tính được thể tích của khối tứ diện ABCD là…

1. Thể tích khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’

Một cách để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’ là sử dụng công thức:
VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣
Trong đó, [AB→;AC→] và [AB→;AD→] lần lượt là hai vector cạnh của hình chữ nhật ABCD và AA’ là vector nằm trên mặt phẳng A’B’C’D’ và vuông góc với các cạnh của hình chữ nhật.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có công thức:
VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|
Ở đây, [AB→;AC→] là vector xác định bởi hai cạnh AB và AC của hình chữ nhật ABCD, trong khi AD → là vector cạnh AD.

II. Bài tập
VD1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0)
Giải
−−→AB=(−1;1;0)
−−→AB=(−1;0;1)
[−−→AB;−−→AC]=(∣∣∣1 00 1∣∣∣;∣∣∣0 −11 −1∣∣∣;∣∣∣−1 1−1 0∣∣∣)=(1;1;1)
−−→AD=(−3;1;0)
VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|=16|2.1+1.(-2)+0.(-3)|=26=13

VD2: Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.
Kẻ đường cao DH
DH=3VD.ABC/SΔABC
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC được bởi ba điểm A, B và C để tính diện tích tam giác ABC:
SΔABC=12|[AB→;AC→]|=2(3)=6
Do đó, DH=3VD.ABC/SΔABC=3(13)/6=23

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính được thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức sau:
VABCD.A′B′C′D′ = ∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣ = ∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣
Với A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6) và D(4, -9, -12).

– Đầu tiên, ta tính vector AB: AB⟶=(1+2; -2-1; 3-0) = (3; -3; 3)
– Tiếp theo, ta tính vector AC: AC⟶=(-3+2; 4-1; -6-0) = (-1; 3; -6)
– Vậy [AB⟶; AC⟶] = ((AB.y * AC.z) – (AB.z * AC.y); (AB.z * AC.x) – (AB.x * AC.z); (AB.x * AC.y) – (AB.y * AC.x)) = ((-9) – (-18); (-18) + (-9); (-3) – (-3))
= (-9 + 18; -27; 0)

Sau đó, ta tính vector AA’: AA’⟶=(-2-(-2); 1-(0); 0-(1)) = (0; 1; -1)
Hơn nữa, ta tính tích có hướng của [AB⟶; AC⟶].AA’⟶: VABCD.A′B′C′D′ = |((AB.y * AC.z – AB.z * AC.y) * AA’.x) + ((AB.z * AC.x – AB.x * AC.z) * AA’.y) + ((AB.x * AC.y – AB.y * AC.x) * AA’.z)| = |((-9 + 18) * 0 ) + ((-18 + (-9)) * 1) + ((-3 – (-3)) * (-1))| = |(0 + (-27) + 0)| = |-27| = 27

Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là 27.

Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:
VABCD = 16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣
Với A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6) và D(4, -9, -12).

– Đầu tiên, ta tính vector AB: AB⟶=(1+2; -2-1; 3-0) = (3; -3; 3)
– Tiếp theo, ta tính vector AC: AC⟶=(-3+2; 4-1; -6-0) = (-1; 3; -6)
– Sau đó, ta tính vector AD: AD⟶=(4+2; -9-1; -12-0) = (6; -10; -12)
– Vậy [AB⟶; AC⟶].AD⟶ = ((AB.y * AC.z – AB.z * AC.y) * AD.x + (AB.z * AC.x – AB.x * AC.z) * AD.y + (AB.x * AC.y – AB.y * AC.x) * AD.z) = ((-9) * 6 + (-18) * (-10) + (-3) * (-12)) = (-54 + 180 + 36)
= 162

Sau cùng, ta tính thể tích của khối tứ diện ABCD: VABCD = 16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣ = 16|162| = 2592.

Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là 2592.

1. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:

VABCD = 16 |[−→AB; −→AC].−→AD|

Từ điểm A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6) và D(4, -9, -12), ta có các vector:

-→AB = (1 – (-2), -2 – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3)
-→AC = (-3 – (-2), 4 – 1, -6 – 0) = (-1, 3, -6)
-→AD = (4 – (-2), -9 – 1,-12-0) = (6,-10,-12)

Thay vào công thức tính thể tích ta có:

VABCD = 16 |[3,-3,-3;-1,3,-6;6,-10,-12]|

Tính định thức của ma trận ta được:

|[3,-3,-3;-1,3,-6;6,-10,-12]|= (3 * (36 +30) + (-(-18 +36)) + (-6*15 + -(18+20)))

=189 – 18 – 210 = -39

Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là:

VABCD = 16 * |-39| = 624

2. Độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD

Ta sẽ tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD bằng cách tìm đường cao DH.

Kẻ DH là chân đồng phẳng của AB và ABCS, trong đó ABCS là tam giác được hình thành bởi các điểm A, B, C và sin(ABCS) = 1.

Để tính chiều dài DH, ta sử dụng công thức:

DH = 3 * VD.ABCS/ΔABC

Xét tam giác ABC:

AB = √(3^2+(-6)^2+(-9)^2) = √126 = 6√7
AC = √((-5)^2 + (-10)^2 + (-12)^2) = √269 ≈16.40122…

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác:

ΔABC=0.5*|(3,-3,-3;-1,3,-6; -5,-10,-12)|

Tính định thức của ma trận ta có:

|(3,-3,-3;-1,3,-6; -5,-10,-12)|= (3 * (36 +30) + (-(-18 +36)) + (-6*15 + -(18+20)))

=189 – 18 – 210 = -39

Vậy diện tích tam giác ABC là:

ΔABC = |-39|= 39

Áp dụng công thức tính VD.ABCS:

VD.ABCS = |[-3,-3,-3;-1,3,-6;4,-9,-12]| = |-195| = 195

Vậy chiều dài DH là:

DH = 3 * VD.ABCS/ΔABC = 3 * 195/39 ≈ 15.

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức:

Tính vector biến thiên của các cạnh AB, AC và AA’.
Tính tích có hướng của hai vector biến thiên bằng cách lấy định thức của ma trận chứa các vector này.
Lấy giá trị tuyệt đối của tích có hướng để được thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Áp dụng vào bài toán cho điểm A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6) và D(4, -9, -12):

Tính vector biến thiên AB: AB = (1 – (-2), -2 – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3).
Tính vector biến thiên AC: AC = (-3 – (-2), 4 – 1, -6 – 0) = (-1, 3, -6).
Tính vector biến thiên AA’: AA’ = (-2 + (-2), 1 + (-1), 0 + (-0)) = (0,0,0).

Sau đó, ta tính tích có hướng của hai vector biến thiên:

[AB, AC] = |(3, -3, 3), (-1, 3, -6)| = |-27 – (-9) + 9| = |-27 + 9 + 9| = |-9+9| = 0.

Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là giá trị tuyệt đối của tích có hướng: VABCD.A’B’C’D’ = |0| = 0.

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức:

Tính vector biến thiên của các cạnh AB, AC và AD.
Tính tích có hướng của hai vector biến thiên bằng cách lấy định thức của ma trận chứa các vector này.
Lấy giá trị tuyệt đối của tích có hướng và chia cho số 6 để được thể tích khối tứ diện ABCD.

Áp dụng vào bài toán cho điểm A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6) và D(4, -9, -12):

Tính vector biến thiên AB: AB = (1 – (-2), -2 – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3).
Tính vector biến thiên AC: AC = (-3 – (-2), 4 – 1, -6 – 0) = (-1, 3, -6).
Tính vector biến thiên AD: AD = (4 – (-2), -9 – 1, -12 – 0) = (6, -10, -12).

Sau đó, ta tính tích có hướng của hai vector biến thiên:

[AB, AC] = |(3, -3, 3), (-1, 3, -6)| = |-27-(-9)+9| = |-27+9+9| = |-27+18| = |-9| = 9.

Với công thức VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|:

VABCD=16*|(9,-9,-2).(-24,-45,-72)|=16*|-216-405+144|=16*|-477|=7632.

Thể tích khối tứ diện ABCD là giá trị tuyệt đối của tích có hướng chia cho số 6: VABCD = |7632/6| ≈ |1272| ≈1272.

1. Thể tích khối tứ diện hộp ABCD.A’B’C’D’

Công thức tính thể tích của một khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng cách lấy định thức của ma trận [−→AB;−→AC].−→AA′ hoặc [−→AB;−→AD].−→AA′.

Trong trường hợp này, ta có các điểm A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12). Để tính thể tích, ta cần tính định thức của ma trận [−→AB;−→AC] hoặc [−→AB;−→AD].

Độ dài vector AB có thể tính bằng cách lấy hiệu của tọa độ hai điểm B và A: AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA) = (1-(-2);-2-1;3-0) = (3;-3;3).

Tương tự, ta có độ dài vector AC là AC(xC-xA;yC-yA;zC-zA) = (-3-(-2);4-1;-6-0) = (-1;3;-6).

Định thức của ma trận [−→AB;−→AC] được tính bằng công thức:

[−→AB;−→AC] = |∣∣∣3 00 13 6∣∣∣| = |-9+18+0-0-9+0| = 9.

Do đó, thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là VABCD.A′B′C′D′ = |[−→AB;−→AC].−→AA′| = 9|[-2;1;0]| = 9√5.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức VABCD = 1/6 * |[−−→AB;−−→AC].−−→AD|.

Sử dụng các điểm A(-2;1;0), B(1;-2;3), C(-3;4;-6) và D(4;-9;-12) đã cho, ta cần tính định thức của ma trận [−−→AB;−−→AC] và vector AD.

Độ dài vector AB đã được tính trong phần trên, AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA) = (3;-3;3).

Độ dài vector AC cũng đã được tính trong phần trên, AC(xC-xA;yC-yA;zC-zA) = (-1;3;-6).

Độ dài vector AD có thể tính bằng hiệu tọa độ hai điểm D và A: AD(xD-xA;yD-yA;zD-zA) = (4-(-2);-9-1;-12-0) = (6;-10;-12).

Định thức của ma trận [−—→AB;−—→AC] được tính bằng công thức:

[−−→AB;−−→AC] = |∣∣∣3 00 16 10 12∣∣∣| = |-30+72-0-0+108-0| = 150.

Do đó, thể tích của khối tứ diện ABCD là VABCD = 1/6 * |[−−→AB;−−→AC].−—→AD| = 1/6 * 150 * 6 = 150.

1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức:

VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣

Ta có −−→AB=(1;-3;-6) và −−→AC=(-3;5;-6)
Vì AA’ là đoạn thẳng nối A với trung điểm của DD’, nên ta có −−→AA’ = (1.5;-5;-6)

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

VABCD.A′B′C′D′=|[1 -3 -6; -3 5 -6].[1.5 -5 -6]|

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức:

VABCD=16|[AB→;AC→].AD→|

Ta có AB⃗=(3,-3,2), AC⃗=(-1,10,0) và AD⃗=(4,-10,-12)

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

VABCD=16|[(3,-3,2);(-1,10,0)].(4,-10,-12)|

Bài tập thực hành

VD1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0)

Giải:

Ta có −−→AB=(-1, 1, 0), AB⃗=(-1, 1, 0)
Ta có −−→AC=(-1, 0, 1), AC⃗=(-1, 0, 1)

Thay các giá trị vào công thức tính thể tích khối tứ diện ABCD:

VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac Oxyz,…

1. Thể tích khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức:

V_{ABCD.A’B’C’D’} = |[→AB; →AC].→AA’|

Trong đó, →AB và →AC là hai vector chỉ phương của hai cạnh AB và AC của khối tứ diện ABCD, →AA’ là vector chỉ phương nằm trên cạnh AA’ của đáy ABCD.

Ta tiến hành tính toán các giá trị:
– →AB = [1 – (-2); -2 – 1; 3 – 0] = [3; -3; 3]
– →AC = [-3 – (-2); 4 – 1; -6 – 0] = [-1; 3; -6]
– →AA’ = [(-2) – (-2); 1 – 1; 0 – 0] = [0; 0; 0]

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
V_{ABCD.A’B’C’D’} = |[3; -3; 3]. [0; 0; 0]| = |[0; 0; 0]| = 0

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức:

V_ABCD = 1/6 |[→AB; →AC].→AD|

Trong đó, →AB và →AC là hai vector chỉ phương của hai cạnh AB và AC của mặt đáy ABCD, →AD là vector chỉ phương nằm trên một cạnh khác không nằm trong mặt đáy.

Ta tiến hành tính toán các giá trị:
– →AB = [1 – (-2); -2 – 1; 3 – 0] = [3; -3; 3]
– →AC = [-3 – (-2); 4 – 1; -6 – 0] = [-1; 3; -6]
– →AD = [4 – (-2); -9 – 1; -12 – 0] = [6; -10; -12]

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
V_ABCD = 1/6 |[3; -3; 3]. [6; -10; -12]| = 1/6 |(18 +30 + (-36))| = 16

Bài tập ví dụ:

Ví dụ: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(-2,1,0)

Giải:

– Vector chỉ phương của cạnh AB: →AB = (0-1)i + (1-0)j + (0-0)k = (-1)i + j
– Vector chỉ phương của cạnh AC: →AC = (0-1)i + (0-1)j + (1-0)k = (-1)i – j + k
– Vector chỉ phương của cạnh AD: →AD = (-2-1)i + (1-0)j + (0-0)k = (-3)i + j

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
V_ABCD = 16 |[(-1)i+j;(-1)i-j+k;(-3)i+j] [(-3)i+j]|

= 16 |((-2)-(-3))i+((1)-0)j+((0)-(3))k|

= 16 |(1i+1j+(-3)k)|

= 16 |√(1²+1²+(-3)²)|

= 16√11

Danh sách tác giả:

HOC247 Team

Nguyễn Công Hà

1. Thể tích khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức sau:
VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−→AB;−→AC].−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−→AB;−→AD].−→AA′∣∣∣
Trong đó, AB, AC và AD là các vector chỉ phương của các cạnh, AA’ là vector nối điểm A với điểm A’.

Đầu tiên, ta cần tính vector AB và AC:
– Vector AB có thành phần x = 1 – (-2) = 3, y = (-2) – 1 = -3, z = 3 – 0 = 3.
– Vector AC có thành phần x = -3 – (-2) = -1, y = 4 – 1 = 3, z = -6 – 0 = -6.

Tiếp theo, tính vector nối điểm A với điểm A’:
– Vector AA’ có thành phần x = (-1) – (-2) = 1, y = 1 – 0 = 1, z = 0.

Áp dụng vào công thức trên, ta có:
VABCD.A′B′C′D′=|(3;-3;3).(1;1;0)|=|(-9+9+0)|=|0|=0

Thể tích của khối tứ diện ABCD.A’B’C’D’ là 0.

2. Thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức sau:
VABCD=16∣∣∣[−→AB;−→AC].−→AD∣∣∣
Trong đó, AB, AC và AD là các vector chỉ phương của các cạnh.

Tương tự như ở trên, ta tính được vector AB và AC như sau:
– Vector AB có thành phần x = 1 – (-2) = 3, y = (-2) – 1 = -3, z = 3 – 0 = 3.
– Vector AC có thành phần x = -3 – (-2) = -1, y = 4 – 1 = 3, z = -6 – 0= -6.

Tiếp theo, tính vector chỉ phương của cạnh AD:
– Vector AD có thành phần x = 4 – (-2) = 6, y = (-9) – 1 = -10, z = (-12) -0= -12.

Áp dụng vào công thức trên, ta có:
VABCD=16|(3;-3;3).(6;-10;-12)|=|(-18+30-36)|=|(-24)|=24

Thể tích của khối tứ diện ABCD là 24.

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’, ta sử dụng công thức Tích có hướng của hai vector và áp dụng vào tứ diện ABCD. Công thức: VABCD.A′B′C′D′=∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AA′∣∣∣=∣∣∣[−−→AB;−−→AD].−−→AA′∣∣∣

Ta có các điểm A(-2, 1, 0), B(1, -2, 3), C(-3, 4, -6) và D(4, -9, -12).
Vector AB được tính bằng cách trừ tọa độ điểm B cho tọa độ điểm A: AB = (1 + 2, -2 – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3)
Vector AC được tính bằng cách trừ tọa độ điểm C cho tọa độ điểm A: AC = (-3 + 2, 4 – 1,-6 -0) = (-1, 3,-6)
Vector AD được tính bằng cách trừ tọa độ điểm D cho tọa độ điểm A: AD = (4 + 2,-9-1,-12-0 )=(6,-10,-12)

Tính tích có hướng của hai vector AB và AC: [AB→;AC→] = |(3,-3,3);(-1,3,-6)| = (9 + 9 + 9) – (-9 + 2 – 9) = 27
Tính tích có hướng của hai vector AB và AD: [AB→;AD→] = |(3,-3,3);(6,-10,-12)| = (30 – 36 -36) – (-36 +30 +18) = -48

Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là VABCD.A′B′C′D′=|[AB→;AC→].AA′→|=|[AB→;AD→].AA′→| = |27.∣∣∣[-2,1,0]∣∣∣| = |-54| = 54.

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức Tích có hướng và áp dụng vào tứ diện ABCD. Công thức: VABCD=16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣

Ta đã tính được vector AB là (3, -3, 3), vector AC là (-1, 3,-6) và vector AD là (6, -10,-12)

Tính tích có hướng của hai vector AB và AC: [AB=> ;AC=> ] =(9+9+9)−(−9+2−9)= 27
Tính tích có hướng của vector AB và AD: [AB=> ;AD=> ] =(30−36−36)−(−36+30+18)= -48

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo công thức VABCD=16∣∣∣[−→AB;−AC.−→AD]∣∣∣=16|3.-48|=26=13.

Vậy thể tích của khối hộp ABCD là 13.

1. Công thức tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Theo công thức, thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bằng định lý Laplace, tức là tương tự như tính thể tích của một tứ diện thông qua các vectơ cạnh của nó.

Công thức để tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

Tính vectơ AB: AB = B – A = (1 – (-2), (-2) – 1, 3 – 0) = (3, -3, 3)
Tính vectơ AC: AC = C – A = (-3 – (-2), 4 – 1, -6 – 0) = (-1, 3, -6)
Tính vectơ AD: AD = D – A = (4 – (-2), (-9) – 1, (-12) – 0) = (6, -10, -12)
Tính vectơ AA’: AA’ = A’ – A = (x’, y’, z’) – (x, y, z)

2. Công thức tính thể tích khối tứ diện ABCD

Theo công thức thiên này được gọi là công thức Laplace nhằm xác định toa độ các đỉnh của một tứ diện bất kỳ qua các hệ số của ba vectơ riêng biệt trong không gian.

Công thức để tính thể tích của khối tứ diện ABCD:

Tính vectơ AB: AB = B – A = (0 – 1, 1 – 0, 0 – 0) = (-1, 1, 0)
Tính vectơ AC: AC = C – A = (0 – 1, 0 – 0, 1 – 0) = (-1, 0, 1)
Tính vectơ AD: AD = D – A = (2 – 1, (-9) – 0, (-12) – 0) = (1, -9, -12)

II. Bài tập

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0).

Giải:

– Tính vectơ AB: AB = B – A = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) = (0-(-2), 1-0, 0-(-2))=(2,-10,-12)

– Tính thể tích VABCD=16∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣
Với ∣∣∣[−−→AB;−−→AC].−−→AD∣∣∣ = |AB.x.AD|

VABCD = 16 ∣∣∣[2,-10,-12].(1,-9,-12) ∣∣∣= 16 | (2.1)+(-10).(-9)+(-12).(-12)|= 16|2+90+144|=4224.

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.

Kẻ đường cao DH

Độ dài DH=3VD.ABCSΔABC=3VABCDSABCDH=3VD.ABCSΔABC=3VABCDSABC

=112|[−−→AB;−−→AC]|=212+12+12=23

VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac Oxyz, cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2√222). M là trung điểm SC. Mp(ABM) cắt SD tại N. Tính VSABMN

Giải:

O là trung điểm BD nên
⎧⎪⎨⎪⎩xD=2×0−xB=0yD=2y0−yB=−1zD=2z0−zB=0⇒D(0;−1;0){xD=2×0−xB=0yD=2y0−yB=−1zD=2z0−zB=0⇒D(0;−1;0)

AB // CD nên gt (ABM) với (SCD) là đường thẳng qua M và song song CD.
Mặt khác M là trung điểm SC nên N là trung điểm SD. Do đó N(0;−12;√2)N(0;−12;2)

Với ∣∣∣[ →SA,-→SM. →SB] is 16∣∣∣AB×BD ∣∣∣
VSAMB = 16|[SA→,SM→.SB→]| = 16|(4 × 6)+(12)+(-8)= -24|

Với ∣∣∣[ →SA,-→SM. →SN] is 16|[SA→,SM→.SN→]| = 16|(4 × -12)+(12)+(-6)= -18|

VsABMN = VSAMB+VSAMN = |-24+-18|= -42

Tóm lại, công thức tính thể tích tứ diện trong không gian là một công thức quan trọng và hữu ích để tính toán không gian ba chiều. Bằng cách áp dụng các công thức của hình học và đại số, ta có thể xác định được thể tích tứ diện dễ dàng. Việc nắm vững công thức này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về không gian và ứng dụng vào các bài toán thực tế.